已知在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．在平面内将△ABC绕B点旋转，点A落到A′，点C落到C′，若旋转后点C的对应点C′和点A、点B正好在同一直线上，那么∠A′AC′的正切值等于．

Question

已知在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．在平面内将△ABC绕B点旋转，点A落到A′，点C落到C′，若旋转后点C的对应点C′和点A、点B正好在同一直线上，那么∠A′AC′的正切值等于___．

Answer 1

当C′点在线段AB上，如图1，连结AA′，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=√(AC2+BC2)=5，
∵在平面内将△ABC绕B点旋转，点A落到A′，点C落到C′，
∴BC′=BC=4，A′C′=AC=3，
∴AC′=AB-BC′=1，
在Rt△AA′C′中，tan∠A′AC′=(A′C′)/(AC′)=(3)/(1)=3；
当C′点在线段AB的延长线上，如图2，连结AA′，
∵在平面内将△ABC绕B点旋转，点A落到A′，点C落到C′，
∴BC′=BC=4，A′C′=AC=3，
∴AC′=AB+BC′=9，
在Rt△AA′C′中，tan∠A′AC′=(A′C′)/(AC′)=(3)/(9)=(1)/(3)，
综合所述，∠A′AC′的正切值等于(1)/(3)或3．
故答案为(1)/(3)或3．