在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A（0，-1），B（0，1），平面内两点G，M同时满足：①G为△ABC的重心；②M到△ABC三点A，B，C的距离相等；③直线GM的倾斜角为π2．（1）求证：顶点C在定

Question

在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A（0，-1），B（0，1），平面内两点G，M同时满足：
①G为△ABC的重心；
②M到△ABC三点A，B，C的距离相等；
③直线GM的倾斜角为(π)/(2)．
（1）求证：顶点C在定椭圆E上，并求椭圆E的方程；
（2）设P，Q，R，N都在曲线E上，点F(√(2)，0)，直线PQ与RN都过点F并且相互垂直，求四边形PRQN的面积S的最大值和最小值．

Answer 1

（1）设C（x，y），
∵S△GBC＝(1)/(3)S△ABC，S△GAC＝(1)/(3)S△ABC，
∴G为△ABC的重心，∴G((x)/(3)，(y)/(3))，
又∵M为△ABC的外心且M在x轴上，
∴M((x)/(3)，0)，由MA=MC得√(((x)/(3))2+1)＝√((x−(x)/(3))2+y2)，
整理得：(x2)/(3)+y2＝1(x≠0)．
（2）F(√(2)，0)恰为(x2)/(3)+y2＝1的右焦点，
设PQ的斜率为k（k≠0），则PQ：y＝k(x−√(2))，
由

y＝k(x−√(2))

x2+3y2＝3

，得(3k2+1)x2−6√(2)k2x+6k2−3＝0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

x1+x2＝(6√(2)k2)/(3k2+1)

x1x2＝(6k2−3)/(3k2+1)

，
∴|PQ|＝√(1+k2)|x1−x2|=(2√(3)(k2+1))/(3k2+1)，
∵RN⊥PQ，把k换成−(1)/(k)，得|RN|＝(2√(3)(k2+1))/(3+k2)，
∴S＝(1)/(2)|PQ|•|RN|=(6(k2+1)2)/((3k2+1)(k2+3))=2−(8)/(3(k2+(1)/(k2))+10)，
∴3(k2+(1)/(k2))+10＝(8)/(2−S)，
∴(8)/(2−S)≥16，⇒(3)/(2)≤S＜2，
当且仅当k=±1时，取等号，又当k不存在或者k=0时，S=2，
综上：(3)/(2)≤S≤2，
∴Smax＝2，Smin＝(3)/(2)．