设函数f(x,y)在(0,0)的邻域连续,F(t)=∬x2+y2≤t2f(x,y)dxdy.求limt→0F′(t)t.
设函数f(x,y)在(0,0)的邻域连续,F(t)=f(x,y)dxdy.求.
答案和解析
由于F(t)=
f(x,y)dxdy=dθrf(rcosθ,rsinθ)dr
=r[f(rcosθ,rsinθ)dθ]dr
因此,F′(t)=tf(tcosθ,tsinθ)dθ
∴==f(tcosθ,tsinθ)dθ(积分中值定理)
=f(tcosξ,tsinξ)dθ
而函数f(x,y)在(0,0)的邻域连续,因此
=f(tcosξ,tsinξ)=f(0,0)
∴=f(0,0)dθ=2πf(0,0)
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