图中虚线为相邻两个匀强磁场区域1和2的边界，两个区域的磁场方向相反且都垂直于纸面，磁感应强度大小都为B，两个区域的高度都为l．一质量为m、电阻为R、边长也为l的单匝矩形导线框abc

Question

图中虚线为相邻两个匀强磁场区域1和2的边界，两个区域的磁场方向相反且都垂直于纸面，磁感应强度大小都为B，两个区域的高度都为l．一质量为m、电阻为R、边长也为l的单匝矩形导线框abcd，从磁场区上方某处竖直自由下落，ab边保持水平且线框不发生转动．当ab边刚进入区域1时，线框恰开始做匀速运动；当线框的ab边下落到区域2的中间位置时，线框恰又开始做匀速运动．求：
（1）当ab边刚进入区域1时做匀速运动的速度v₁；
（2）当ab边刚进入磁场区域2时，线框的加速度的大小与方向；
（3）线框从开始运动到ab边刚要离开磁场区域2时的下落过程中产生的热量Q．

Answer 1

（1）ab边刚进入区域1时，线框恰开始做匀速运动，重力与安培力平衡，则有
   mg=BIl，
又I=(E)/(R)=(Blv1)/(R)
联立得 mg=(B2l2v1)/(R)  ①
得 v₁=(mgR)/(B2l2)
（2）当ab边刚进入磁场区域2时，ab和cd两边都切割磁感线产生感应电动势，回路中感应电动势为E′=2Blv₁，感应电流为I′=(E′)/(R)，线框所受的安培力大小为
  F_安=2BI′l=(4B2l2v1)/(R) ②
由①②得：F_安=4mg
根据牛顿第二定律得：F_安-mg=ma
解得，a=3g，加速度方向竖直向上．
（2）当线框的，ab边下落到区域2的中间位置时，线框又开始做匀速运动，设此时线框的速度为v₂，安培力为F_安′=(4B2l2v2)/(R)
则由平衡条件得：mg=F_安′=(4B2l2v2)/(R)，③
由①③得v₂=(1)/(4)v1
线框从开始运动到ab边刚要离开磁场区域2时的下落过程中，械能减小转化为内能，根据能量守恒得
   Q=2mgl-（(1)/(2)m

v

2 1

-(1)/(2)m

v

2 2

）
联立解得，Q=2mgl+(15m3g2R2)/(32B4l4)
答：
（1）当ab边刚进入区域1时做匀速运动的速度v₁为(mgR)/(B2l2)
（2）当ab边刚进入磁场区域2时，线框的加速度的大小为3g，加速度方向竖直向上．
（3）线框从开始运动到ab边刚要离开磁场区域2时的下落过程中产生的热量Q为2mgl+(15m3g2R2)/(32B4l4)．