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求函数z=x^2*y(4-x-y)在直线x+y=6,x轴和y轴所围成的区域D上的最大值和最小值
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求函数z=x^2*y(4-x-y)在直线x+y=6,x轴和y轴所围成的区域D上的最大值和最小值
▼优质解答
答案和解析
在边界x=0,或y=0上,都有z=0；
在边界x+y=6上,z=-2x^2(6-x)=-2(6x^2-x^3), z'=-2(12x-3x^2)=6x(x-4), x=0时,z=0为极大值；x=4时,z=-64为极小值；
在边界内：
Z'x=2xy(4-x-y)-x^2y=xy(8-3x-2y)
Z'y=x^2(4-x-y)-x^2y=x^2(4-x-2y)
由Z'x=0,Z'y=0,解得:非零解为 x=2, y=1 为极值点
Z(2,1)=4
比较得,函数在区域D上的最大值为4,最小值为-64.
在边界x+y=6上,z=-2x^2(6-x)=-2(6x^2-x^3), z'=-2(12x-3x^2)=6x(x-4), x=0时,z=0为极大值；x=4时,z=-64为极小值；
在边界内：
Z'x=2xy(4-x-y)-x^2y=xy(8-3x-2y)
Z'y=x^2(4-x-y)-x^2y=x^2(4-x-2y)
由Z'x=0,Z'y=0,解得:非零解为 x=2, y=1 为极值点
Z(2,1)=4
比较得,函数在区域D上的最大值为4,最小值为-64.
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