已知函数f（x）=ex2-1ex-ax（a∈R）．（1）当a=32时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在[-1，1]上为单调函数，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=(ex)/(2)-(1)/(ex)-ax（a∈R）．
（1）当a=(3)/(2)时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在[-1，1]上为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=(3)/(2)时，函数f（x）=(ex)/(2)-(1)/(ex)-(3)/(2)x，
∴f′（x）=(ex)/(2)+(1)/(ex)-(3)/(2)=(e2x−3ex+2)/(2ex)=((ex−1)(ex−2))/(2ex)，
令f′（x）=0，解得x=0．或x=ln2，
当f′（x）＞0时，即x＜0，或x＞ln2，故函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，即0＜x＜ln2，故函数f（x）单调递减，
所以函数f（x）单调增区间为（-∞．0）∪（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）
（2）∵f′（x）=(ex)/(2)+(1)/(ex)-a，
①若函数f（x）在[-1，1]上为单调减函数，
∴f′（x）=(ex)/(2)+(1)/(ex)-a≤0，在[-1，1]恒成立，
即a≥(ex)/(2)+(1)/(ex)
令g（x）=(ex)/(2)+(1)/(ex)，
则g′（x）=(ex)/(2)-(1)/(ex)=((ex+√(2))(ex−√(2)))/(2ex)，
 当x∈[-1，ln√(2)），g（x）单调递减，x∈（ln√(2)，1]单调递增，
又因为g（1）=(e)/(2)+(1)/(e)，g（-1）=(1)/(2e)+e，
g（1）＜g（-1），
故g（x）_max=g（-1）=(1)/(2e)+e，
故a≥(1)/(2e)+e，
②若函数f（x）在[-1，1]上为单调增函数，
∴f′（x）=(ex)/(2)+(1)/(ex)-a＞0，在[-1，1]恒成立，
即a＜(ex)/(2)+(1)/(ex)
令h（x）=(ex)/(2)+(1)/(ex)，
则h′（x）=(ex)/(2)-(1)/(ex)=((ex+√(2))(ex−√(2)))/(2ex)，
 当x∈[-1，ln√(2)），g（x）单调递减，x∈（ln√(2)，1]单调递增，
故当x=ln√(2)，h（x）有最小值，最小值为h（x）_min=h（ln√(2)）=√(2)
故a≤√(2)，
综上所述实数a的取值范围为（-∞，√(2)]∪[(1)/(2e)+e，+∞）