已知函数f（x）=2|x+1|+ax（x∈R）．（1）证明：当a＞2时，f（x）在R上是增函数；（2）若函数f（x）存在两个零点，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=2|x+1|+ax（x∈R）．
（1）证明：当 a＞2时，f（x）在 R上是增函数；
（2）若函数f（x）存在两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由函数f（x）=2|x+1|+ax（x∈R），
得f(x)＝

(a+2)x+2，  x≥−1

(a−2)x−2   ，x＜−1

，
当a＞2时，则a+2＞0，a-2＞0，
上述函数在每一段上都是增函数，
且它们在x=-1处的函数值相同，
∴当 a＞2时，f（x）在 R上是增函数；
（2）根据（1），若函数存在两个零点
则满足

a+2＞0

a−2＜0

f(−1)＝−a＜0

，
解得0＜a＜2，
∴函数f（x）存在两个零点，a的取值范围为（0，2）．