已知函数f（x）=lnx+bx-c，f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+4=0．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间；（3）若在区间[12，3]内，恒有f（x）≥2lnx+kx成立，求k的取值范围

Question

已知函数f（x）=lnx+bx-c，f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+4=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若在区间[(1)/(2)，3]内，恒有f（x）≥2lnx+kx成立，求k的取值范围．

Answer 1

（1）由题意，f′（x）=(1)/(x)+b，则f′（1）=1+b，
∵在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+4=0，
∴切线斜率为-1，则1+b=-1，得b=2-，
将（1，f（1））代入方程x+y+4=0，
得：1+f（1）+4=0，解得f（1）=-5，
∴f（1）=b-c=-5，将b=2代入得c=3，
故f（x）=lnx-2x-3；
（2）依题意知函数的定义域是（0，+∞），且f′（x）=(1)/(x)-2，
令f′（x）>0得，0<x<(1)/(2)，令f′（x）<0得，x>(1)/(2)，
故f（x）的单调增区间为（0，(1)/(2)），单调减区间为（(1)/(2)，+∞）．
（3）由f（x）≥2lnx+kx，k≤-2-(lnx+3)/(x)在区间[(1)/(2)，3]内恒成立，
设g（x）=-2-(lnx+3)/(x)，则g′（x）=(lnx+2)/(x2)，
∴g（x）在区间[(1)/(2)，3]上单调递增，
∴g（x）的最小值为g（(1)/(2)）=2ln2-8，
∴k≤2ln2-8．