选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|2x-a|+|x-1|．（1）当a=3时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≥5-x对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|2x-a|+|x-1|．
（1）当a=3时，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若f（x）≥5-x对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）a=3时，即求解|2x-3|+|x-1|≥2．
①当x≥(3)/(2)时，不等式即 2x-3+x-1≥2，解得 x≥2．
②当1＜x＜(3)/(2)时，不等式即3-2x+x-1≥2，∴2-x≥2，∴x＜0．
③当x≤1时，3-2x+1-x≥2，解得3x≤2，即 x≤(2)/(3)．
∴综上，解集为{x|x≤(2)/(3)或x≥2}．…（5分）
（Ⅱ）即|2x-a|≥5-x-|x-1|恒成立
令g(x)＝5−x−|x−1|＝

6−2x，x≥1

4，x＜1

，则由函数g（x）的图象可得它的最大值为4，
故函数y=|2x-a|的图象应该恒在函数g（x）的图象的上方，数形结合可得(a)/(2)≥3，∴a≥6，即a的范围是[6，+∞）．…（10分）