定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界．已知函数f(x)＝1+a(12)x+(14)x，g(x)＝log121−

Question

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界．已知函数f(x)＝1+a((1)/(2))x+((1)/(4))x，g(x)＝log(1)/(2)(1−ax)/(x−1)．
（1）若函数g（x）为奇函数，求实数a的值；
（2）若a=-1，判断g（x）在区间[(5)/(3)，3]上的单调性（不必证明），并求g（x）上界的最小值；
（3）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）因为函数g（x）为奇函数，
所以g（-x）=-g（x）即：(1+ax)/(−x−1)=(x−1)/(1−ax)，
得a=±1，而当a=1时不合题意，
故a=-1；
（2）由（1）得：g（x）=

log	(1+x)/(x−1) (1)/(2)

，
函数g（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
所以函数g（x）在区间[(5)/(3)，3]上单调递增，
函数g（x）在区间[(5)/(3)，3]上的值域为[-2，-1]，
所以|g（x）|≤2，故函数g（x）在区间[(5)/(3)，3]上的上界的最小值为2．
（3）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．
-3≤f（x）≤3，-4-((1)/(4))x≤a((1)/(2))x≤2-((1)/(4))x．
∴[−4•2x−((1)/(2))x]max≤a≤[2•2x−((1)/(2))x]min，
设2^x=t，h（t）=-4t-(1)/(t)，p（t）=2t-(1)/(t)，
由x∈[0，+∞）得 t≥1，
设1≤t₁＜t₂，h（t₁）-h（t₂）=((t1−t2)(4t1t2−1))/(t1t2)＞0，
P（t₁）-p（t₂）=((t1−t2)(2t1t2+1))/(t1t2)＜0，
所以h（t）在[1，+∞）上递减，显然p（t）在[1，+∞）上递增，
h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=-5，
p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1．
所以实数a的取值范围为[-5，1]．