关于e的-x^2方的定积分怎么算的补充提问：上下限分别是（a+d,a-d）.即∫（a-d,a+d）e^(-x^2)dx.

Question

关于e的-x^2方的定积分怎么算的补充提问：上下限分别是（a+d,a-d）.即∫（a-d,a+d）e^(-x^2)dx.

Answer 1

这个积分如果仍用二维积分结果开方的话,由于积分域是方形,作变量代换的时候,积分限只能表达为函数的形式,因此不能避免超函数积分,无法用解析式获得结果.只能通过分割累加,求得数值结果.
二楼说的利用正态分布函数方法可以用于本题的计算.
标准正态分布表是数值计算的结果,可直接查表获得函数值.
作变量代换 t=√2 *x,则 dx=√2/2 *t
[a-d,a+d]∫e^(-x²)dx
= √2/2* { [√2(a-d),√2(a+d)]∫e^(-t²/2)dt}
= √π * { [-∞,√2(a+d)] ∫[1/(√2π)*e^(-t²/2)dt] - [-∞,√2(a-d)]∫[1/(√2π)*e^(-t²/2)dt]}
= √π * [ Φ(√2(a+d)) - Φ(√2(a-d)) ]
式中[-∞,x]∫1/(√2π)*e^(-t²/2)dt 就是标准正态分布函数在x 点的值Φ(x).
查标准整体分布表可得Φ(√2(a+d)) 和 Φ(√2(a-d)) ,进而可以计算出积分式的结果.