f(x)在[a,b]l连续,且∫f(x)dx=0(从a到b),则∫[f(x)]^2dx(从a到b)仅当f(x)=0时成立（a是下限,b是上限）为什么啊,请简单说明下

Question

f(x)在[a,b]l连续,且∫f(x)dx=0(从a到b),则∫[f(x)]^2dx(从a到b)仅当f(x)=0时成立（a是下限,b是上限）
为什么啊,请简单说明下

Answer 1

∫[a--->b] f(x)dx=0这个条件不需要.
当f(x)=0时,∫[a--->b] f²(x)dx=0,显然成立.
下面证明：当∫[a--->b] f²(x)dx=0时,f(x)=0在(a,b)内成立.
反证法：假设f(x)≠0,则存在c∈(a,b),使得：f(c)≠0,则f²(c)>0
因为f²(x)连续,由极限的局部保号性,存在δ>0,使得当x∈(x-δ,x+δ)时,有f²(x)>0
因此∫[x-δ---->x+δ] f²(x)dx>0
又由f²(x)≥0
则∫[a--->b] f²(x)dx=∫[a--->x-δ] f²(x)dx+∫[x-δ---->x+δ] f²(x)dx+∫[x+δ--->b] f²(x)dx>0
与∫[a--->b] f²(x)dx=0矛盾,因此f(x)=0在(a,b)内成立.
再由于f²(x)连续,因此f(x)=0在a、b两点也成立,因此：f(x)=0在[a,b]内成立.