f(x)=∫ln(2+t)dt,上限x^2,下线0.求f'(x).08年数学一的第一道题

Question

f(x)=∫ln(2+t)dt,上限x^2,下线0.求f'(x).08年数学一的第一道题

Answer 1

∫ln(2+t)dt,d(2+t)=dt
=∫ln(2+t)d(2+t),分部积分法
=(2+t)ln(2+t)-∫(2+t)d[ln(2+t)]
=(2+x²)ln(2+x²)-2ln2-∫dt
=(2+x²)ln(2+x²)-2ln2-t
=(2+x²)ln(2+x²)-2ln2-x²
∴f'(x)
=d/dx (2+x²)ln(2+x²)-2ln2-x²
=ln(2+x²)*(2x)+(2+x²)*2x/(2+x²)-2x
=2xln(2+x²)+2x-2x
=2xln(2+x²)