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设f(x)在(-∞,+∞)上具有连续导数,令F(x)=∫(上限x,下限0)(2t-x)f(t)dt.求证:若f(x)为奇函数,则F(x)也是奇函数.
题目详情
设f(x)在(-∞,+∞)上具有连续导数,令F(x)=∫(上限x,下限0) (2t-x)f(t)dt.
求证:若f(x)为奇函数,则F(x)也是奇函数.
求证:若f(x)为奇函数,则F(x)也是奇函数.
▼优质解答
答案和解析
因为F(x)=∫(上限x,下限0) (2t-x)f(t)dt=∫(上限x,下限0) 2tf(t)dt-x∫(上限x,下限0)f(t)dt
所以F’(x)=2xf(x)-∫(上限x,下限0)f(t)dt-xf(x)=xf(x)-∫(上限x,下限0)f(t)dt
所以F‘(-x)=-2xf(-x)-∫(上限-x,下限0)f(t)dt
令t=-k,上式可化为F‘(-x)=-2xf(-x)-∫(上限x,下限0)f(-k)d(-k)
因为f(x)为奇函数为奇函数,所以f(x)=-f(-x)
所以F’(-x)=2xf(x)-∫(上限x,下限0)f(k)d(k)=F'(x)
所以F'(x)为偶函数
显然奇函数的导数为偶函数
所以F(x)为奇函数.
所以F’(x)=2xf(x)-∫(上限x,下限0)f(t)dt-xf(x)=xf(x)-∫(上限x,下限0)f(t)dt
所以F‘(-x)=-2xf(-x)-∫(上限-x,下限0)f(t)dt
令t=-k,上式可化为F‘(-x)=-2xf(-x)-∫(上限x,下限0)f(-k)d(-k)
因为f(x)为奇函数为奇函数,所以f(x)=-f(-x)
所以F’(-x)=2xf(x)-∫(上限x,下限0)f(k)d(k)=F'(x)
所以F'(x)为偶函数
显然奇函数的导数为偶函数
所以F(x)为奇函数.
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