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y''+2y'+y=e^-t的通解
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y''+2y'+y=e^-t的通解
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答案和解析
∵齐次方程y"+2y'+y=0的特征方程是r^2+2r+1=0,则r=-1（二重根）
∴此齐次方程的通解是y=(C1t+C2)e^(-t) (C1,C2是常数)
∵设原方程的解为y=At^2e^(-t)
代入原方程,化简得2Ae^(-t)=e^(-t)
==>2A=1
==>A=1/2
∴y=t^2e^(-t)/2是原方程的一个特解
故原方程的通解是y=(C1t+C2)e^(-t)+t^2e^(-t)/2.
∴此齐次方程的通解是y=(C1t+C2)e^(-t) (C1,C2是常数)
∵设原方程的解为y=At^2e^(-t)
代入原方程,化简得2Ae^(-t)=e^(-t)
==>2A=1
==>A=1/2
∴y=t^2e^(-t)/2是原方程的一个特解
故原方程的通解是y=(C1t+C2)e^(-t)+t^2e^(-t)/2.
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