线性代数,关于特征值λ的取值有两个例子：1,求n阶方阵A的所有可能的特征值,A^mp=λ^mp,A^m=0（零矩阵）那为什么结果是λ=0,m次应该是m个重根,那么所有的特征值应该有m个啊?（即λ1=λ2=...=λm=0?）

Question

线性代数,关于特征值λ的取值
有两个例子：
1,求n阶方阵A的所有可能的特征值,A^mp=λ^mp,A^m=0（零矩阵）那为什么结果是λ=0,m次应该是m个重根,那么所有的特征值应该有m个啊?（即λ1=λ2=...=λm=0?）
2,设n阶方阵A满足A^2+4A+4E=0(零矩阵),求A的所有特征值,f(λ)=(x+2)^2,结果为什么是λ=-2,而不是λ1=λ2=-2呢?不应该是重根吗?另外A是n阶,所有的特征值应该有n个,这里是不是没有办法求出n个?
做计算题时,有重根不是都是要写λ1=λ2=*的形式吗?为什么有的时候又只写一个?
也就是说考试的时候，有重根的只写一个也不算错？

Answer 1

1.应该是λ1=λ2=...=λn=0但不是由你的方程算出来的
结果是λ=0是对的,有时候为了简便,若果所有特征值都一样,就只写λ=多少,若有不一样的才写λ1,λ2...λm
2.应该是λ1=λ2=..λn=-2
P^-1(A+2E)P=J
(A+2E)^2=PJ^2P^-1=0
J^2=0
J=0(反证法证明)
A+2E特征值全为0
λ1=λ2=..=λn=-2
有重根不是都要写λ1=λ2=..=*的形式吗?若所有的都一样可只写一个,如果2个一样,其他不一样可写成
λ1=λ2=..λ3=..λ4=...λn=...
考试你最好把每个特征值都写出来,也不会多写多少字啊