已知O为坐标原点,F(1,0),点P为直线l:x=-1上一动点,点Q为PF的中点,点M满足MQ垂直PF,且向量MP=k*向量OF已知O为坐标原点,F(1,0),点P为直线l:x=-1上一动点,点Q为PF的中点,点M满足MQ垂直PF,且向量MP=a*向量OF(a

Question

已知O为坐标原点,F(1,0),点P为直线l:x=-1上一动点,点Q为PF的中点,点M满足MQ垂直PF,且向量MP=k*向量OF
已知O为坐标原点,F(1,0),点P为直线l:x=-1上一动点,点Q为PF的中点,点M满足MQ垂直PF,且向量MP=a*向量OF(a属于R).
(1)求点M的轨迹方程;
(2)设点C(5,0),两点A、B在M的轨迹上,且k(AB)=1,直线AB与线段OC有交点,求△ABC的面积S的最大值.

Answer 1

1.设点M的坐标为(x,y).很据已知向量MP=k*向量OF也就是说OF和MP共线,所以M和P的纵坐标是相同的,所以P的坐标就是(-1,y),Q点坐标是(0.y/2)由题意,MQ和PF垂直,也就是两个向量的数量积为0,坐标带入整理运算最后得到的等式是y=4x^2,也就是开口向右的抛物线方程
2.因为直线AB与线段OC有交点,也就是说A,B两点分别在x轴的上下侧.这个时候设交点坐标为D(t,0),△ABC的面积S可以转化一下,分别求△ADC和△BDC的面积,注意到两个三角形有公共边DC,高分别是A和B的纵坐标,此时△ABC的面积可以表达为S=1/2(5-t)(y1-y2),其中(y1-y2)可以通过联立直线AB和抛物线的方程得到关于Y的二次函数,然后由两根之和两根之积导出(y1-y2)的表达式,它也是关于t的代数式,最后带入到面积表达式中,得到的是关于t的函数,求面积的最大值也就是求这个函数的最大值问题,要注意t的范围,其实这道题就是一个转化思想的运用,把面积问题转化为函数的最大值问题也就做完了!
如果有不明白的可以继续交流探讨
因为Q点是PF的中点,P(-1,y),F(1,0)直接中点坐标公式就有Q点的坐标了呀!