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求证若f(x)严格单调递增或递减,则方程f(x)=x和f[f(x)]=x同解
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求证若f(x)严格单调递增或递减,则方程f(x)=x和f[f(x)]=x同解
▼优质解答
答案和解析
f(x)=x的解显然是f[f(x)]=x的解
下证f[f(x)]=x的解f(x)=x的解 设y是f[f(x)]=x的解 即f(f(y))=y 只需验证f(y)=y即可
又f(x)严格单调递增或递减,则f(x)存在反函数f^(-1) f(y)=f^-1(y)=A
对上式取f有f[f(y)]=y=f(A) 再取f有f{f[f(y)]}=f(y)=f[f(A)]=f[f(y)] f单调ff(x)也单调所以A=y即f(y)=y
下证f[f(x)]=x的解f(x)=x的解 设y是f[f(x)]=x的解 即f(f(y))=y 只需验证f(y)=y即可
又f(x)严格单调递增或递减,则f(x)存在反函数f^(-1) f(y)=f^-1(y)=A
对上式取f有f[f(y)]=y=f(A) 再取f有f{f[f(y)]}=f(y)=f[f(A)]=f[f(y)] f单调ff(x)也单调所以A=y即f(y)=y
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