对于线性方程组λx1+x2+x3＝λ−3x1+λx2+x3＝−2x1+x2+x3＝−2，讨论λ取何值时，方程组无解，有唯一解和无穷多解，在方程组有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示全部解．

Question

对于线性方程组

λx1+x2+x3＝λ−3

x1+λx2+x3＝−2

x1+x2+x3＝−2

，讨论λ取何值时，方程组无解，有唯一解和无穷多解，在方程组有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示全部解．

Answer 1

对方程组的增广矩阵做初等行变换，化成行阶梯形矩阵：

.

A

＝

λ	1	1	λ−3
1	λ	1	−2
1	1	λ	−2

r1↔r3，r2−r1，r3−λr1

1	1	λ	−2
0	λ−1	1−λ	0
0	1−λ	1−λ2	3(λ−1)

r3+r2

1	1	λ	−2
0	λ−1	1−λ	0
0	0	−(λ+2)(λ−1)	3(λ−1)

，
∴
①当λ≠-2且λ≠1时，由于r(A)＝r(

.

A

)＝3．此时，方程组有唯一解．
②当λ=-2时，由于r(A)＝2＜3＝r(

.

A

)．此时，方程组无解．
③当λ=1时，由于r(A)＝r(

.

A

)＝1＜3．此时，方程组有无穷多解，并且此时：

.

A

＝

1	1	1	−2
0	0	0	0
0	0	0	0

，
取x₂和x₃为为它的自由变量，则：
x₁=-2-x₂-x₃
令：x₂=x₃=0，解得方程组的一特
η*＝

−2

0

0

，
又与原方程组的导出组同解的方程组为：
x₁=-x₂-x₃
令

x2

x3

＝

1

0

和

0

1

解得导出组的基础解系η1＝

−1

1

0

，η2＝

−1

0

1

∴此时，方程组的通解为
X＝c1η1+c2η2+η*=c1

−1

1

0

+c2

−1

0

1

+<