已知线性方程组x1+x2+x3=4x1+ax2+x3=32x1+2ax2=4无解.a=?

Question

已知线性方程组 x1+x2+x3=4 x1+ax2+x3=3 2x1+2ax2=4 无解.a=?

Answer 1

将方程组写成Ax = b,其中
1 1 1 4 x1
A = 1 a 1, b = 3,x = x2.
2 2a 0 4 x3
由于方程组无解,有R(A) < R([A b]).对矩阵A做初等行变换,
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 a 1 -> 1 a 1 ->0 a-1 0
2 2a 0 0 0 1 0 0 1
可见,当a≠1时,矩阵A的秩为3；当a = 1时,A的秩为2.
接下来对矩阵[A b]做初等行变换,
1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 4
1 a 1 3 -> 1 a 1 3-> 0 a-1 0 1
2 2a 0 4 0 0 1 1 0 0 1 1
可见,无论a为何值,矩阵[A b]的秩都为3.由于R(A) < R([A b]) = 3,可知R(A) = 2.因此a = 1.