fx=lnx+(x-a)^2,fx存在极值时a的范围,证明所有极值之和大于lne/2

Question

fx=lnx+(x-a)^2,fx存在极值时a的范围,证明所有极值之和大于lne/2

Answer 1

显然x>0（f(x)的定义域）
易知f'(x)=1/x+2(x-a)
若f(x)存在极值
则必有f'(x)=0在定义域上有解
即必有f'(x)=0有正数解
即必有x^2-ax+1/2=0有正数解
则⊿=a^2-2≥0且a/2>0
所以a≥√2
当a=√2时
方程x^2-ax+1/2=0有唯一正数解
即x=√2/2为f(x)在定义域上的唯一极值
显然f(√2/2)=ln(√2/2)+(√2/2-√2)^2=1/2(1-ln2)=1/2ln(e/2)
所以f(√2/2)√2时
方程x^2-ax+1/2=0有两个不同的正数解
即f(x)在定义域上极大和极小两个极值
显然两个极值点分别为x1=[a-√(a^2-2)]/2和x2=[a+√(a^2-2)]/2
则两个极值之和为：
f(x1)+f(x2)=f{[a-√(a^2-2)]/2}+f{[a+√(a^2-2)]/2}
=ln{[a-√(a^2-2)]/2}+ln{[a+√(a^2-2)]/2}+{[a-√(a^2-2)]/2-a}^2+{[a+√(a^2-2)]/2-a}^2
=ln{[a-√(a^2-2)]/2*[a+√(a^2-2)]/2}+{[√(a^2-2)+a]/2}^2+{[√(a^2-2)-a]/2}^2
=ln(1/2)+a^2-1=a^2-2+(1-ln2)=(a^2-2)+ln(e/2)
注意到a^2>2,即a^2-2>0
则f(x1)+f(x2)>ln(e/2)
本题好象不够严格