求函数u=xyz在附加条件1x+1y+1z＝1a（x＞0，y＞0，z＞0，a＞0）下的极值．

Question

求函数u=xyz在附加条件(1)/(x)+(1)/(y)+(1)/(z)＝(1)/(a)（x＞0，y＞0，z＞0，a＞0）下的极值．

Answer 1

利用拉格朗日乘数法求多元函数条件极值．

F(x，y，z；λ)＝lnx+lny+lnz−λ((1)/(x)+(1)/(y)+(1)/(z)−(1)/(a))

Fx＝(1)/(x)+λ(1)/(x2)＝0，Fy＝(1)/(y)+λ(1)/(y2)＝0，Fz＝(1)/(z)+λ(1)/(z2)＝0

λ＝−3a，x＝y＝z＝3a

极小值为27a3.

．
（3a，3a，3a）是函数u=xyz在附加条件下的唯一可能极值点．
把附加条件确定的隐函数记为z=z（x，y），将目标函数看做u=xyz（x，y）=F（x，y），再应用二元函数极值的充分条件判断，可知点（3a，3a，3a）是极小值点．
故答案为：极小值为u（3a，3a，3a）=27a³．