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设z=z(x,y)是由x^2-6xy+10y^2-2yz-z^2+18=0确定的函数,求z=z(x,y)的极值点和极值.
题目详情
设z=z(x,y)是由x^2-6xy+10y^2-2yz-z^2+18=0确定的函数,求z=z(x,y)的极值点和极值.
▼优质解答
答案和解析
对x求导得
2x - 6y - 2y dz/dx - 2z dz/dx = 0
所以dz/dx = (x-3y)/(y+z)
对y求导得
-6x + 20y - 2z - 2y dz/dy - 2z dz/dy
所以dz/dy = (10y - 3x - z)/(y+z)
令
x=3y
10y-3x+z=0
得
z=y
代入原方程得
9y^2-18y^2+10y^2-2y^2-y^2+18=0
得y^2=9所以y=±3
所以极值点为(9,3,3)极值为3
(-9,-3,-3)极值为－3
至于是极大还是极小还需要讨论一下
2x - 6y - 2y dz/dx - 2z dz/dx = 0
所以dz/dx = (x-3y)/(y+z)
对y求导得
-6x + 20y - 2z - 2y dz/dy - 2z dz/dy
所以dz/dy = (10y - 3x - z)/(y+z)
令
x=3y
10y-3x+z=0
得
z=y
代入原方程得
9y^2-18y^2+10y^2-2y^2-y^2+18=0
得y^2=9所以y=±3
所以极值点为(9,3,3)极值为3
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