如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（1）证明：B1C1⊥CE；（2）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26．求

Question

如图所示，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA₁=AB=2，E为棱AA₁的中点．
（1）证明：B₁C₁⊥CE； 
（2）设点M在线段C₁E上，且直线AM与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为(√(2))/(6)．求线段AM的长．

Answer 1

（1）证明：因为侧棱CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁C₁⊂平面A₁B₁C₁D₁，
所以CC₁⊥B₁C₁．
因为AD=CD=1，AA₁=AB=2，E为棱AA₁的中点，
所以B₁E=√(5)，B₁C₁=√(2)，EC₁=√(3)，
从而B₁E²=B₁C

2

1

+EC

2

1

，
所以在△B₁EC₁中，B₁C₁⊥C₁E．
又CC₁，C₁E⊂平面CC₁E，CC₁∩C₁E=C₁，
所以B₁C₁⊥平面CC₁E，
又CE⊂平面CC₁E，故B₁C₁⊥CE．
（2）连结D₁E，过点M作MH⊥ED₁于点H，可得MH⊥平面ADD₁A₁，
连结AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD₁A₁所成的角．
设AM=x，从而在Rt△AHM中，有MH=(√(2))/(6)x，AH=(√(34))/(6)x．
在Rt△C₁D₁E中，C₁D₁=1，ED₁=√(2)，得EH=√(2)MH=(1)/(3)x．
在△AEH中，∠AEH=135°，AE=1，由AH²=AE²+EH²-2AE•EHcos 135°，得(17)/(18)x²=1+(1)/(9)x²+(√(2))/(3)x．
整理得5x²-2 √(2)x-6=0，解得x=√(2)（负值舍去），
所以线段AM的长为√(2)．