如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=2，PB=PD=22，点F是PC的中点．（Ⅰ）求证：PC⊥BD；（Ⅱ）求BF与平面ABCD所成角的大小；（Ⅲ）若点E在棱PD上，当PEPD为多少时二面角E-AC-D的

Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=2，PB=PD=2√(2)，点F是PC的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥BD；
（Ⅱ）求BF与平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）若点E在棱PD上，当(PE)/(PD)为多少时二面角E-AC-D的大小为(π)/(6)？

Answer 1

令AC与BD的交点为O，由于底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=2，可得AO=1，BO=√(3)
又PB=PD=2√(2)，在等腰三角形PBD中，由勾股定理可解得P0=√(5)
故有PA²+AO²=5=PO²，故有PO⊥AC，即有PO，AC，BD三线两两垂直，由此，可以O为坐标原点，，OB方向为X轴，OC方向为Y轴，OP方向为Z轴建立空间坐标系，故有A（0，-1，0），B（√(3)，0，0），C（0，1，0），D（-√(3)，0，0），P（0，0，√(5)）
（I）

PC

=（0，1，-√(5)），

作业帮用户 2017-09-23

问题解析

本题是考查证线线垂直，求线面角与二面的方法，由题设条件，可令BD与AC的交点为O，可证得P0垂直于底面ABCD，由菱形的性质，AC与BD互相垂直，本题的图象中出现了同一点出发的三条线段两两垂直，故可以建立空间坐标系用向量法求解，以O为坐标原点，OB方向为X轴，OC方向为Y轴，OP方向为Z轴建立空间坐标系，
（I）求出PC与BD两线对应的方向向量，利用内积为0证明线线垂直；
（II）求出直线BF的方向向量，与平面ABCD的法向量，利用公式求线面角；
（III）先设(PE)/(PD)=t，用t表示出两个平面的法向量，由于两平面的夹角为(π)/(6)，由此建立关于t的方程求出t的值，即可得到点E的位置．

名师点评

本题考点：

直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评：

本题考查与二面角有关的立体几何综合题，由于本题中出现了同一点出发的三条两两垂直的直线，适合建立坐标系，故采用了向量法证明线线垂直，求线面角，在第三问中，由于本题中几何体的结构特点，易得出二面角的平面角，故采用了传统的立体几何的方法研究二面角为(π)/(6)时(PE)/(PD)的比，解题时要根据题设条件灵活选用方法，以达到简化解题的目的．

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