如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点P为底边BC上一动点，连接AP，在AP左侧作等腰△APD，使PA=PD，∠APD=∠BAC，连接BD．（1）如图①，若∠APD=∠BAC=60°，求证：△ABD≌△ACP；（2）如图②，若∠APD=∠BA

Question

如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点P为底边BC上一动点，连接AP，在AP左侧作等腰△APD，使PA=PD，∠APD=∠BAC，连接BD．
（1）如图①，若∠APD=∠BAC=60°，求证：△ABD≌△ACP；
（2）如图②，若∠APD=∠BAC=90°，AB=2，当点P由点C运动到点B时：
①∠PBD的大小是否为定值？若为定值，求出其大小，若发生变化，请说明理由；
②求出点D运动的路径长度

Answer 1

（1）如图①，∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC等边三角形，
同理得△APD也是等边三角形，
∴AD=AP，∠DAP=60°，
∴∠DAB+∠BAP=∠CAP+∠BAP，
∴∠DAB=∠CAP，
∴△ABD≌△ACP；
（2）①∠PBD的大小会发生变化，过A作AF⊥BC，交BC于F，则F是BC的中点，
i）当点P在FC上运动时，∠PBD=45°，如图②，理由是：
过点D作DG⊥BC于G，
∵∠APF+∠DPG=90°，∠GDP+∠DPG=90°，
∴∠APF=∠GDP，
∵∠AFP=∠DGP=90°，AP=PD，
∴△AFP≌△PGD，
∴AF=PG，PF=GD，
∵AF=BF，
∴BF=PG，
∴BF-FG=PG-FG，
即BG=PF，
∴BG=GD，
∴△BGD是等腰直角三角形，
∴∠PBD=45°，
ii）当点P与中点F重合时，∠PBD=0°，
iii）当点P在BF上运动时，∠PBD=135°，如图③，
过点D作DG⊥BC，交CB的延长线于点G，
同理得△APF≌△PDG，
∴AF=PG，PF=DG，
∴PG=BF，
∴BG=PF=DG，
∴△BDG是等腰直角三角形，
∴∠GBD=45°，
∴∠PBD=135°；
②如图④，点D运动的路径是从点D到点E，
当点P在点C时，设AD交BC于F，
∵△APD与△ABC都是等腰直角三角形，
∴AD⊥BC，
当点P运动到点B时，由∠APD=90°得∠ABE=90°，
∵∠ABC=45°，∠CBD=45°，
∴∠EBD=180°，
∴E、B、D在同一直线上，
由题意得：△ADE是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴ED=2AB=4，
∴点D运动的路径长度为4．