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(2011•惠州二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD垂直于底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,DC∥AB,∠BAD=90°,且(单位:cm),E为PA的中点.(1)如图,若主视方向与AD平行,请作出该几何体的主视
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(1)如图,若主视方向与AD平行,请作出该几何体的主视图并求出主视图面积;
(2)证明:DE∥平面PBC;
(3)证明:DE⊥平面PAB.
▼优质解答
答案和解析
(1)主视图如下:(没标数据不扣分)
(3分)
主视图面积S=
×4×2=4cm2.(4分)
(2)设PB的中点为F,连接EF、CF,EF∥AB,DC∥AB,∴EF∥AB,且EF=DC=
AB,
故四边形CDEF为平行四边形,可得ED∥CF,.(7分)
ED⊄平面PBC,CF⊂平面PBC,故DE∥平面PBC.(9分)
(3)PD垂直于底面ABCD,AB⊂平面ABCD,
∴AB⊥PD,又AB⊥AD,PD∩AD=D,AD⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,
∴AB⊥平面PAD.(11分)
ED⊂平面PAD,故ED⊥AB,.(12分)
又PD=AD,E为PA中点,故ED⊥PA;.(13分)
PA∩AB=A,PA⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,∴DE⊥平面PAB.(14分)


主视图面积S=
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(2)设PB的中点为F,连接EF、CF,EF∥AB,DC∥AB,∴EF∥AB,且EF=DC=
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故四边形CDEF为平行四边形,可得ED∥CF,.(7分)
ED⊄平面PBC,CF⊂平面PBC,故DE∥平面PBC.(9分)
(3)PD垂直于底面ABCD,AB⊂平面ABCD,
∴AB⊥PD,又AB⊥AD,PD∩AD=D,AD⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,
∴AB⊥平面PAD.(11分)
ED⊂平面PAD,故ED⊥AB,.(12分)
又PD=AD,E为PA中点,故ED⊥PA;.(13分)
PA∩AB=A,PA⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,∴DE⊥平面PAB.(14分)
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