二面角的平面角的三个主要特征

Question

二面角的平面角的三个主要特征

Answer 1

教学目标
1.使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念,并能初步运用它解决实
际问题；
2.引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义,在概念形成的过程中,发展学生
的思维能力.
教学重点和难点
本课的重点是“二面角”和?“二面角的平面角”的概念；
本课的难点是“二面角的平面角”概念形成的过程.
教学设计过程
教师:在平面几何中“角”是怎样定义的?
学生:从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角.
教师:在立体几何中,“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的?
它们有什么共同的特征?
学生:直线a,b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a′‖a,b′‖b,我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
它们的共同特征是都是将三维空间的角转化为二维空间的角.
教师:请同学们观察下面的几个问题.
(当教师说完上述话后,利用多媒体技术,让学生通过计算机看两个例子)
例子之一:
镜头一:淡蓝色的地球.(图片)
镜头二:火箭发射人造地球卫星.(录相)
镜头三:人造地球卫星绕地球旋转,最后画出卫星的轨道平面和地球赤道平面.
让学生观察这两个平面相交成一定的角度.
例子之二:
镜头一:人走在坡度不太大的桥上.(录相)
镜头二:人在爬山.(录相)
镜头三:攀岩运动.(录相)
镜头四:演示下面动态图象.(让水平面静止不动,坡面在不断变化,目的是让学生看到,
在生活实践中,有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形)
(注意:四个镜头要连续编排在一起进行演示,时间一分钟)
教师:如何给二面角下定义呢?下面我们用类比的办法,与角的概念对比,探讨二面角的定义.
这一段教学采用计算机辅助手段,每一个问题分三步完成,首先给出平面角的问题,然后请
学生思考并回答二面角的问题,最后计算机显示正确结果.这部分共有四个问题,全部研究
完毕后,将整个过程列成一个总表,显示在屏幕上.
教师:请看角的图形,思考二面角的图形.
学生可以将自己画的图展示给大家.
计算机显示:二面角的图形.
教师:(给出平面角的定义)请同学们给二面角下定义.
显示:从平面内一点出发的两条射线所组成的图形.
学生:(口答)
计算机显示:从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形.
教师:平面角由射线—点—射线构成.二面角呢?
学生:二面角由半平面—线—半平面构成.
教师:平面角表示法:∠AOB.
二面角表示法 α-α-β或α-AB-β.
最后计算机显示整个过程.
教师:经过上面的研究我们已经看到,平面上的角,可以看作是一条射线绕其端点旋转形成
的图形；类似地,一个半平面绕其界线旋转到一定位置所得到的图形,就是二面角.
教师:二面角与平面内的角一样,是可以比较大小的,其比较方法,与平面内的角的大小的
比较方法类似.
(教师让学生打开书本)
打开书本的过程,给我们一种二面角的大小连续变化的形象.(前面看到的爬山问题也是如此)
教师:用量角器可以量出平面内的角的大小,能否也能用量角器直接去量出二面角的大小呢.
比如,这里有一个对顶量角器和一个三角木块(直三棱柱)模型,你们能用我们自制的对顶量
角器来量出三角木块模型的某两面角的大小吗?比如平面α与β的夹角?
教师:一般地说,量角器只能测量“平面角”(指两条相交直线所成的角.相应地,我们把
异面直线所成的角,直线与平面所成的角和二面角,均称为空间角)那么,如何去度量二面
角的大小呢?我们以往是如何度量某些角的?
学生:分别通过“取点、平移(相交)”(对异面直线所成的角)与“斜线的射影(相交)”(对
斜线与平面所成的角)去度量的.
教师:这些做法的共同点是什么?
学生:都是将空间角化为平面角.
教师:对!再回到刚才的量角操作,你是怎样用对顶量角器去量二面角α-l-β的大小呢?
学生:将对顶量角器的一个角的两边靠紧二面角的两个面,角的顶点则在二面角的棱上.
教师:大家注意,实际上同学们量的是一个平面内的角:∠ABC.这个角的顶点在二面角的
棱上,它的两边分别在二面角的两个面内且与棱垂直.而且对于确定的二面角,这样的角的
大小是唯一的,确定的,我们把它叫做二面角的平面角.
(对于训练有素,肯于思考的学生可能会提出下面的问题)
学生:若以棱a上任意一点O为端点,在两个面内作与棱成等角θ′(0°＜θ′＜90°)的两
条射线OA′,OB′,由空间等角定理知,∠A′OB′也是存在且唯一的,为什么不用这样的
角定义二面角的平面角?
教师:记∠AOB=θ,∠A′OB′=j.当OA′,OB′在平面AOB同侧时θ＞j；当OA′,OB′
在平面AOB异侧时θ＜j.请看图6:
设 A′P′=a,A′P=b,A′B′=x
由余弦定理,得:
cos j=2(1-cos j),
cos θ=2(1-cos θ),

所以
在RtΔA′pp′中:sinθ′=,
所以 sin2θ′=.(*)
当OA′,OB在平面AOB的同侧时,若用∠A′OB′=表示二面角的大小,由(*)知,与θ
之间会有常数关系,这将给表示,尤其是计算、应用带来诸多不便；另外,若用∠A′OB′=
表示二面角的大小,当平面α⊥平面β时；≠90°,当半平面α与半平面β在同一平面
时,=2θ′≠180°,都与已有知识和经验不符,不能直观反映出空间两个相交平面的相
对位置关系.
教师板书二面角的平面角的定义.
定义 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射
线所成的角叫做二面角的平面角.
教师:“二面角的平面角”的定义三个主要特征是什么?
学生:过棱上任意一点(0∈a),分别在两个面内作射线(OAα,OBβ),射线垂直于棱(O
A⊥a,OB⊥a).
教师:经过上面的研究我们看到,二面角的大小,可以用它的平面角来度量,二面角的平面
角是几度,就说这个二面角是几度.
教师:许多立体几何问题,若能正确地作出图形,则问题就便于解决.若能正确地作出二面
角的平面角乃是解决这类问题的关键步骤.下面我们总结一下作二面角平面角的几种基本方
法.如何利用定义作二面角的平面角呢?
学生:在二面角的棱a上任意取一点O为端点,在面α,β内分别引垂直于棱a的两条射线OA
,OB,则∠AOB为该二面角的平面角.
教师:如何利用三垂线定理作二面角的平面角呢?
学生:在二面角α-a-β的面α上任取一点A,过A分别作棱a和另一面β的垂线AO和AB(O,
B分别是垂足),连BO；或者过A作面β的垂线AB,又过垂足B引棱a的垂线BO,连AO；则∠AOB
为该二面角的平面角.
教师:能否用作垂面的办法作二面角的平面角呢?
学生:过二面角的棱a上任一点O,作平面γ与该棱垂直(作棱的垂面),平面γ与α,β分别
交于OA,OB,则可用∠AOB来度量二面角α-a-β的大小.
教师:下面我们研究一道例题.
题目:如图11,山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是60°,山坡上有一条直道
CD,它和坡脚的水平线AB的夹角是30°,沿这条路上山,行走100米后升高多少米?
(投影打出下图)
(此例是一个实际应用问题,难度较低,一般不易引起人们的注意,但教师应深入思考,讲
清下面几点)
分析:
1.建模过程 此例的求解首先要对实际图形作出想象理解,然后在教学中抽象出数学模型.
虽然建模过程难度较低,但教学中应主要向学生渗透建模的思想和增强学生对立体几何中一
些基本图形的认识与理解.
设过AB的水平面为α,坡面DAB所在的平面为β,CD=100m.
本题要求“升高了多少米”?即是求点D到水平面α的距离DH.这自然会想到解直角三角形DH
C,但该直角三角形不可解,故必须另寻途径.(如图,利用计算机显示在屏幕上)
再看看给出的条件,已知二面角α-AB-β是60°,如何作出它的平面角呢?过D在平面β内
作DG⊥AB,G是垂足,再连结HG,则根据三垂线定理,可得HG⊥AB,则∠DGH就是该二面角的
平面角,即∠DGH=60°.再根据∠DCH=30°及直角三角形DGH和DCG的边角关系,就可以求出DH.
2.提炼方法 此例的求解是应用三垂线定理作二面角的平面角的典型例子,也是立体几何的
一个基本方法.为了强化此法,应在本节练习中配套出相应的题目.这表明在教学中加强对
基本方法的提炼、理解是很有必要的,也是加强通法教学的具体表现.
练习:
①在30°二面角的一个面内有一个点,它到另一个面的距离是a,求它到棱的距离.
②把边长为a的正方形ABCD以BD为轴折叠,使二面角A-BD-C成60°的二面角,求A、C两点
的距离.
3.导出等式 在图12中,不妨从一般性出发,记∠DCH=θ1,∠DCG=θ2,∠HCG=θ3,∠DHG=θ.引导学生从例题图形中推导出等式:
① sin1=sin2sin
②cos2=cos1cos.
这样的练习既锻炼了学生的动手能力,还揭示了例题的引申功能,使例题的作用突出,导向
明确,极有利于学生对知识串联、累积、加工,从而达到举一反三的作用.
推导①:因为sinθ1=,sinθ2=,sinθ=,所以sinθ1=sinθ2sinθ.
推导②:因为 cosθ2=,cosθ1=,cosθ3=,所以cosθ2=cosθ1cisθ3.
4.挖掘引申 教师在学生导出等式①,②后,把课堂教学进一步引向深入,对等式①,②作
出说明与解释.
由等式①可得sinθ1≤sinθ,即θ1≤θ,说明沿山坡直道CD上山时与水平面所成的角θ1
不大于山坡的倾斜度,这使例题的实际性增强,又使学生在教学过程中对数学知识与实际生
活进行比较、联系、评价,突出了数学应用的广泛性,进一步强化了学生的应用意识,从而
有利于学生数学素养的提高.
小结
1.空间的“二面角”,是平面几何中角的概念在空间中的拓广.处理问题的思想方法是将“
空间的角”转化为“平面的角”来处理.定义的原则是:这个“平面角”的大小必须是由空
间的角完全确定而且是唯一的.
2.凡是涉及到二面角的几何问题,都要根据题目的条件,在图形的恰当位置作出二面角的平
面角,主要方法有“定义法”,“应用三垂线定理”和“作垂面”的方法.我们将在下一课
做进一步的研究.
布置作业
1.阅读课本.
2.正四面体ABCD,求侧面与底面所成二面角的大小的余弦值.
3.如果两个二面角的两个面对应平行,那么这两个二面角相等或互补.
课堂教学设计说明
本节课属于新授课型.应主要把握下述几个方面.
1.要有良好的铺垫.数学教学的过程,实质上就是原有认知结构不断地同化或顺应的能动过
程.学生原有的认知结构,始终是关系迁移功能的一个关键的因素.为了有效迁移和建构,
就应认真寻找和了解学生的原认识,及时组织改造和唤起这些关键因素,为学习新的知识提
供基础.主要要做到三个方面的铺垫:(1)知识性铺垫.(2)技能性铺垫.(3)原理性铺垫.
2.抓着新知识的导入点.新课导入就是在新旧问题之间架起一座“认知桥梁”,从而顺利实
现迁移.导入时要寻求新旧问题的最短距离,要瞄准新旧关系的最佳方位,要把握新旧转换
的最精确表达.
3.新授课的重点是新授.新授是一堂课的重要环节,也是学生思维最活跃、最紧张、最有效
的认知高潮.因此,新授过程应确保在教学中的最佳时域进行.要让学生有观察、动手、表
达、思考、交流、表现等时机,让学生真正成为学习的主人,主动地和生动地进行认知建构.
4.做好课堂巩固.巩固的主要目的就是帮助学生建立起关于某道范例的思维模式,形成积极
有益的认知定势作为学习优势去解决实际问题.这样的巩固练习,不能单纯停留于对范例的
模仿上,而应恰当地变换形式或角度,集中突破教学难点和重点.
5.做好作业的选题、批改、订正、讲评,进一步提高学习质量.