对dy=2xdx两端积分,得到这个方程的通解y=x^2+C,该式的右边求积分可以理解,那么左边求积分是什么意思?也就是对dy求积分是什么意思?

Question

对dy=2xdx两端积分,得到这个方程的通解y=x^2+C,该式的右边求积分可以理解,那么左边求积分是什么意思?
也就是对dy求积分是什么意思?

Answer 1

∫ dy＝∫ 2x dx ,两边都应该看做“不定积分”.右边求出来是 x²＋C1
,左边 ∫ dy 相当于被积函数是1,即 ∫ 1·dy,谁关于y求导等于1呢?显然是y,由于是求不定积分,所以左边的积分结果应＝y＋C2
那么,∫ dy＝∫ 2x dx 可以写成 y＋C2 ＝ x²＋C1
移项,有 y ＝ x²＋C1－C2,由于C1和C2都是任意常数,因此C1－C2可以合并成一项,用一个新的字母C表示,那么 y ＝ x²＋C1－C2 也可以写成 y ＝ x²＋C
这就是你所看到的最后结果.所以两端同时求不定积分时,实际只需要在某一侧加上常数C,通常是 x 所在的那一侧.如果两侧都加常数,和上面一样,最后两端的常数总是可以合并成一个新常数C.
至于你问 ∫ dy 为什么相当于被积函数是1 那我问你,∫ 2 dy ,它的被积函数是不是2?
∫ 2 dy 是不是可以提公因式,写成 2 ∫ 1·dy