设y=x3+4x2．（1）求函数的增减区间及极值；（2）求函数图象的凹凸区间及拐点；（3）求其渐近线；（4）作出其图形．

Question

设y=(x3+4)/(x2)．
（1）求函数的增减区间及极值；
（2）求函数图象的凹凸区间及拐点；
（3）求其渐近线；
（4）作出其图形．

Answer 1

函数定义域为：（-∞，0）∪（0，+∞）
（1）求一次导数y'=1-(8)/(x3)
求单调区间
令y'＞0，得x＞2或x＜0
令y'＜0，得0＜x＜2
所以函数的减区间为：（0，2）增区间为：（-∞，0）和（2，+∞）
再求极值
令y'=0得x=2，y在x=2处左减右曾，为极小值点．
所以x=2时，y取极小值3
（2）求二次导数y″=(24)/(x4)
显然y''＞0在定义域恒成立，所以函数在定义域上是凹函数，不存在拐点．
（3）由于

lim

x→0

(x3+4)/(x2)=0，所以函数图象不存在垂直渐近线；

lim

x→+∞

(x3+4)/(x2)和

lim

x→-∞

(x3+4)/(x2)均不存在，所以也不存在水平渐近线；
由于

lim

x→∞

(y)/(x)=

lim

x→∞

(x3+4)/(x3)=1

lim

x→∞

(y-x)=

lim

x→∞

(4)/(x3)=0
所以有斜渐近线y=x
（4）