如图，在△ABC中，AB=AC=5，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且sinα=35．下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD=2时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直

Question

如图，在△ABC中，AB=AC=5，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），
∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且sinα= (3)/(5)．下列结论：
①△ADE∽△ACD；
②当BD=2时，△ABD与△DCE全等；
③△DCE为直角三角形时，BD的长一定为4；
④0<CE≤3.2．
其中正确的结论是___．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

①∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE=∠B
∴∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACD；
故①正确，

②作AG⊥BC于G，
∵AB=AC=5，∠ADE=∠B=α，sinα=(3)/(5)，
∴cosB=cosα=√(1-sinα)=(4)/(5)，
∴BG=ABcosB，
∴BC=2BG=2ABcosB=2×5×(4)/(5)=8，
∵BD=2，
∴DC=6，
∴AB≠DC，
∴△ABD与△DCE不全等，故②错误，

③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，
∴∠ADC=∠AED，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且cosα=(4)/(5)，AB=5，
∴BD=4，
当∠CDE=90°时，易△CDE∽△BAD，
∵∠CDE=90°，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=α且cosα=(4)/(5)，AB=5，
∴cosB=(AB)/(BD)=(4)/(5)，
∴BD=(25)/(4)．
故③错误．
∵AG⊥BC于G，如图，
∵AB=AC，
∴BG=CG，
∵∠ADE=∠B=α，
∴cosB=cosα=(BG)/(AB)=(4)/(5)，
∴BG=(4)/(5)×5=4，
∴BC=2BG=8，
设BD=x，则CD=8-x，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，即α+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠CDE=∠BAD，
而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴(AB)/(CD)=(BD)/(CE)，即(5)/(8-x)=(x)/(CE)，
∴CE=-(1)/(5)x²+(8)/(5)x
=-(1)/(5)（x-4）²+3.2，
当x=4时，CE最大，最大值为3.2．
∴0<CE≤3.2．故④正确．
故答案为：①④．