设y1,y2是二阶非齐次线性微分方程的两个特解.证明:y1与y2之比不可能是常数

Question

设y1,y2是二阶非齐次线性微分方程的两个特解.证明:y1与y2之比不可能是常数

Answer 1

证：反证法!
要证y1,y2之比不为常数,即证明y1,y2线性无关!
假设y1,y2线性相关,设y2＝ky1,
因为y1,y2是二阶非齐次线性方程的特解,故它们都不是常数0,且因为y1≠y2,所以k≠0,1.
这样,一方面有
y1''＋py2'＋qy2＝f(x),
另一方面又有
y2''＋py2'＋qy2＝ky1''＋pky1＝k(y1''＋py1'＋qy1)＝kf(x).
于是有f(x)＝kf(x)(k≠0,1),即f(x)≡0,
这与非齐次方程相矛盾,所以假设错误!
因此,
y1,y2线性无关,即y1,y2之比不可能为常数!