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求微分方程y''=1/（1+x^2）的通解
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求微分方程y''=1/（1+x^2）的通解
▼优质解答
答案和解析
y''=1/（1+x^2）
令y'=dy/dx=p 则y''=dp/dx
所以有dp/dx=1/（1+x^2）
积分得 p=arctanx+C1
即 dy/dx=arctanx+C1
dy=(arctanx+C1)dx
两边积分有 y=∫ (arctanx+C1)dx
=∫ arctanxdx+C1x
=xarctanx-∫ x/(1+x^2)dx+C1x
=xarctanx-1/2∫ 1/(1+x^2)d(1+x^2)+C1x
=xarctanx-1/2ln(1+x^2)+C1x+C2
令y'=dy/dx=p 则y''=dp/dx
所以有dp/dx=1/（1+x^2）
积分得 p=arctanx+C1
即 dy/dx=arctanx+C1
dy=(arctanx+C1)dx
两边积分有 y=∫ (arctanx+C1)dx
=∫ arctanxdx+C1x
=xarctanx-∫ x/(1+x^2)dx+C1x
=xarctanx-1/2∫ 1/(1+x^2)d(1+x^2)+C1x
=xarctanx-1/2ln(1+x^2)+C1x+C2
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