lim(x趋于无穷)√(x^2+x+1)-√(x^2-x+1)求极限

Question

lim (x趋于无穷) √(x^2+x+1)-√(x^2-x+1) 求极限

Answer 1

用平方差公式有理化：
√(x^2+x+1)-√(x^2-x+1)
＝[(x^2+x+1)-(x^2-x+1)]/[√(x^2+x+1)＋√(x^2-x+1)]
＝2x/[√(x^2+x+1)＋√(x^2-x+1)]
若x→＋∞,则分子分母同除以x,化为2 / [√(1+1/x+1/x^2)＋√(1-1/x+1/x^2)].所以,极限是2 / [√(1+0+0)＋√(1-0+0)]＝1
若x→-∞,则分子分母同除以-x,化为 -2 / [√(1+1/x+1/x^2)＋√(1-1/x+1/x^2)].所以,极限是-2 / [√(1+0+0)＋√(1-0+0)]＝-1
所以x→∞时,原极限不存在