(x+a/x-a)^x的极限等于9,那么a等于?

Question

(x+a/x-a)^x的极限等于9,那么a等于?

Answer 1

说明：∵若x趋于0,它的极限≠9.∴此题应该是x趋于∞.
显然,a≠0
∵lim(x->∞){[(x+a)/(x-a)]^x}
=lim(x->∞){[1+2a/(x-a)]^[((x-a)/(2a))((2ax)/(x-a))]}
={lim(x->∞)[1+2a/(x-a)]^[(x-a)/(2a)]}^{lim(x->∞)[(2ax)/(x-a)]}
=e^{lim(x->∞)[(2ax)/(x-a)]} (应用重要极限lim(z->0)[(1+z)^(1/z)]=e)
=e^{lim(x->∞)[(2a)/(1-a/x)]}
=e^(2a)
又lim(x->∞){[(x+a)/(x-a)]^x}=9
∴e^(2a)=9 ==>2a=2ln3
故a=ln3.