1^∞类型的极限怎么求?比如：lim(x→∞)[1+(a/x)]^x

Question

1^∞类型的极限怎么求?
比如：lim(x→∞)[1+(a/x)]^x

Answer 1

令y＝[1+(a/x)]^x
两边同时取自然对数,得：
㏑y＝㏑{[1+(a/x)]^x}
即㏑y＝x㏑[1+(a/x)]
lim(x→∞)x㏑[1+(a/x)]
＝lim(x→∞){㏑[1+(a/x)]}/（1/x）
根据洛必达法则：
lim(x→∞){㏑[1+(a/x)]}/（1/x）
＝lim(x→∞){(-a/x²)[x/（x+a）]}/(-1/x²)
＝lim(x→∞)ax²/[x（x+1）]
＝lim(x→∞)2ax/2x+a
＝2a/2
＝a
∴lim(x→∞)[1+(a/x)]^x=e^a
至于lim(x→∞)[1+(1/x)]^x=e的证明,把a换成1就行了