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计算∬Sx3dydz+2y3dzdx+3z3dxdy，其中S为球面x2+y2+z2=a2的外侧．
题目详情
计算
x3dydz+2y3dzdx+3z3dxdy，其中S为球面x2+y2+z2=a2的外侧．
| ∬ |
| S |
▼优质解答
答案和解析
设V={（x，y，z）：x2+y2+z2≤a2}，
利用高斯公式及对称性，
x3dydz+2y3dzdx+3z3dxdy=
(3x2+6y2+9z2)dxdydz
又V是关于三个坐标面对称的，因此
x2dxdydz=
y2dxdydz=
z2dxdydz
∴
x3dydz+2y3dzdx+3z3dxdy
=(1+2+3)
(x2+y2+z2)dxdydz
=6
dθ
dφ
r2r2sinφdr=6•2π•2•
a5＝
．
利用高斯公式及对称性，
| ∬ |
| S |
| ∫∫∫ |
| V |
又V是关于三个坐标面对称的，因此
| ∫∫∫ |
| V |
| ∫∫∫ |
| V |
| ∫∫∫ |
| V |
∴
| ∬ |
| S |
=(1+2+3)
| ∫∫∫ |
| V |
=6
| ∫ | 2π 0 |
| ∫ | π 0 |
| ∫ | a 0 |
| 1 |
| 5 |
| 24πa5 |
| 5 |
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