一个圆锥母线长为13,底面圆的半径为5,顶点到圆心的距离为12.沿着此圆锥的一条母线剪开.求在展开图里剪下一个最大的圆,最大的圆的半径是多少?

Question

一个圆锥母线长为13,底面圆的半径为5,顶点到圆心的距离为12.
沿着此圆锥的一条母线剪开.求在展开图里剪下一个最大的圆,最大的圆的半径是多少?

Answer 1

圆锥母线长、底面圆半径、顶点到底面圆心距离满足勾股定理：13^2=12^2+5^2,所以该圆锥为正圆锥,其展开图为扇形,扇形的半径等于圆锥母线长13,扇形弧长等于圆锥底面圆周长10π,扇形顶角为10π/13.
设扇形可剪下的最大圆的半径为R,该圆内切于扇形,所以有以下关系式：
13-R=R/sin(5π/13)
解得：R=13sin(5π/13)/[1+sin(5π/13)]
即R≈6.28