已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上,与y轴的交点为B（0,1）,且b=-4ac．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点C,使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A?若不存在,说明理由；若存在

Question

已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上,与y轴的交点为B（0,1）,且b=-4ac．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点C,使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A?若不存在,说明理由；若存在,求出点C的坐标,并求出此时圆的圆心点P的坐标；
（3）根据（2）小题的结论,你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系?

Answer 1

抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上
ax^2+bx+c=0
b^2-4ac=0.(1)
与y轴的交点为B（0,1）,且b=-4ac
c=1
b=-4a
16a^2-4a=0
a>0
a=0.25,b=-1
抛物线的解析式:
y=0.25x^2-x+1
A(2,0)
抛物线上存在一点C(x,y),使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A
k(AB)*k(AC)=-1
k(AB)=-0.5
k(AC)=y/(x-2)
-0.5*y/(x-2)=-1
y=2x-4=0.25x^2-x+1
x=2,10
y=0,6
C(2,0),C(10,6)
P((1,0.5),P(5,3l.5)
xB+xC=2xP
yB+yc=2yP