已知矩形ABCD内接于圆柱下底面的圆O，PA是圆柱的母线，若AB=6，AD=8，此圆柱的体积为300π，求异面直线AC与PB所成角的余弦值．

Question

已知矩形ABCD内接于圆柱下底面的圆O，PA是圆柱的母线，若AB=6，AD=8，此圆柱的体积为300π，求异面直线AC与PB所成角的余弦值．

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Answer 1

【分析】建立空间直角坐标系A-xyz，求出向量与的坐标，设异面直线AC与PB所成角所成的角θ，向量与的夹角为φ，利用两个向量的夹角公式，求出cosφ 的值，再取绝对值即得所求．

设圆柱下底面圆O的半径为r，连AC，
\n由矩形ABCD内接于圆O，可知AC是圆O的直径，
\n于是，解得r=5.
\n又圆柱的体积V=25π•PA=300π，可得PA=12．
\n分别以直线AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，如图，

\n可得，
\n设异面直线AC与PB所成角所成的角θ，向量与的夹角为φ，
\n则，
\n故异面直线AC与PB所成角的余弦值为．

【点评】本题考查异面直线所成的角的定义和求法，两个向量的数量积的定义，求出向量与的坐标是解题的关键，
\n注意cosθ 和cosφ的关系．