（2014•湛江二模）如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，DD1⊥平面ABCD，AB=2AD，AD=A1B1，∠BAD=60°．（1）证明：BD⊥平面ADD1A1；（2）证明：CC1∥平面A1BD．

Question

（2014•湛江二模）如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是平行四边形，DD₁⊥平面ABCD，AB=2AD，AD=A₁B₁，∠BAD=60°．
（1）证明：BD⊥平面ADD₁A₁；
（2）证明：CC₁∥平面A₁BD．

Answer 1

（1）证明：∵AB=2AD，∠BAD=60°，在△ABD中，由余弦定理得

     BD²=AD²+AB²-2AD•ABcos60°=3AD²，
∴AD²+BD²=AB²，
∴AD⊥BD，
∵DD₁⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD．
∴DD₁⊥BD，
又AD∩DD₁=D，
∴BD⊥平面ADD₁A₁．
（2）证明：连接AC，A₁C₁，设AC∩BD=E，连接EA₁，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EC=(1)/(2)AC，
由棱台定义及AB=2AD=2A₁B₁知
A₁C₁∥EC，且A₁C₁=EC，
∴四边形A₁ECC₁是平行四边形，因此CC₁∥EA₁，
又∵EA₁⊂平面A₁BD，
∴CC₁∥平面A₁BD，