正三棱台ABC-A1B1C1中,A1B1=2a,AB=3a(a>0),侧面和底面所成的二面角为θ,求此棱台体积

Question

正三棱台ABC-A1B1C1中,A1B1=2a,AB=3a(a>0),侧面和底面所成的二面角为θ,求此棱台体积

Answer 1

延长AA1、BB1、CC1三条直线,交于P点,则形成二三棱锥,P-A1B1C1,P-ABC,
作二三棱锥高PO、PO1,分别交下底z上底于O和O1点,
连结AO延长交于BC于D,连结A1O1延长交于B1C1于D1,连结PD1、DD1,则P、D1、D三点共线,
∵△ABC是正△,
∴AB=BC=AC=3a,
∵AA1=BB1=CC1,
∴PA=PB=PC,
∴OA=OB=OC,
∴O是△ABC的外心,
∴AD=√3BC/2=3√3a/2,
且AD⊥BC,D是BC的中点,
∴PD⊥BC,
∴〈ADP是二面角P-BC-A的平面角,
∴〈ADP=θ,
∵O也是△ABC的重心,
∴OD=AD/3=√3a/2,（重心性质）
OP/OD=tanθ,
∴OP=OD*tanθ=（√3/2）（tanθ）a,
S△ABC=√3AB^2/4= √3*（3a)^2/4=9√3a^2/4,
∴VP-ABC=S△ABC*OP/3=(9√3a^2/4)*（√3/2）（tanθ）a/3
=(9a^3/8)tanθ,
同理,O1D1=（√3/2）*2a/3=√3a/3,
O1P=tanθ*√3a/3=（√3tanθ）a/3,
VP-A1B1C1=S△A1B1C1*O1P/3
=[√3（2a)^2/4]*[（√3tanθ）a/3]/3
=(a^3tanθ)/3,
∴V正三棱台ABC-A1B1C1=(9a^3/8)tanθ-a^3tanθ)/3=（19tanθ）a^3/24.
当然可以直接套公式,
关键是求出高,OD=√3a/2,O1D1=√3a/3,
OD-O1D1=√3a/6,
设棱台高为h,h=(√3tanθ)a/6,
V=h(S1+√S1S2+S2）/3
=(√3tanθa/6）[√3*9a^2/4+√(√3*9a^2/4)(√3*4a^2/4)+√3*4a^2/4]/3
=(√3tanθa/6）(19√3a^2/4)/3
=（19tanθ）a^3/24.