（2014•海珠区一模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD，PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面EAC；（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅲ）求二面角E-AC-B的余弦值．

Question

（2014•海珠区一模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD，PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面EAC；
（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求二面角E-AC-B的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）连接BD与AC相交于点O，连接EO．
∵四边形ABCD为正方形，∴O为BD中点．
∵E为棱PD中点．
∴EO是△PBD的中位线，可得PB∥EO．          …（3分）
∵PB⊄平面EAC，EO⊂平面EAC，
∴直线PB∥平面EAC．  …（4分） 
（Ⅱ）∵PA⊥平面PDC，CD⊂平面PDC
∴PA⊥CD．            …（5分）
∵正方形ABCD中，AD⊥CD，PA、AD是平面PAD内的相交直线
∴CD⊥平面PAD．                                      …（7分）
∵CD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．                              …（8分）
（Ⅲ）取AD中点M，BC中点N，连接PM，MN．
∵正方形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∴MN∥CD．
由（Ⅱ）可得MN⊥平面PAD．
∵PA=PD，M是AD中点，∴PM⊥AD．
因此，MP、MA、MN两两垂直，
分别以MA、MN、MP为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系 …（9分）
设AB=4，则可得A（2，0，0），B（2，4，0），C（-2，4，0），
D（-2，0，0），P（0，0，2），E（-1，0，1）．
所以 

EA

=（3，0，-1），

AC

=（-4，4，0）．
设平面EAC的法向量为

n

=（x，y，z），则有
√(n•EA＝0作业帮用户2017-11-02扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)