已知正三棱锥S-ABC,SA=2倍根号3已知正三棱锥S－ABC中,SA＝2倍根号三,那么当棱锥体积最大是,它的底面边长是（）（1）1（2）根号6（3)2(4)2倍根号6选几为什么

Question

已知正三棱锥S-ABC,SA=2倍根号3
已知正三棱锥S－ABC中,SA＝2倍根号三,那么当棱锥体积最大是,它的底面边长是（）
（1）1 （2）根号6 （3)2 (4)2倍根号6
选几
为什么

Answer 1

已知正三棱锥S－ABC中,SA＝2倍根号三,那么当棱锥体积最大是,它的底面边长是（）
（1）1 （2）根号6 （3)2 (4)2倍根号6
设正三棱锥S-ABC的高为H,底面积为S,则其体积V=(1/3)SH.
底面是正三角形,设其边长为a,则其面积S=(1/2)a²sin60°=[(√3)/4]a²
设正三角形底面ABC的重心为G,那么SG=H=√(SA²-AG²),其中SA=2√3,
AG=(2/3)asin60°=[(√3)/3]a,故H=√[12-(a²/3)]=[√(36-a²)]/√3
∴V=(1/3)[(√3)/4]a²[√(36-a²)]/√3=(1/12)a²√(36-a²)
令dv/da=(1/12)[2a√(36-a²)+(a²)(-2a/2√(36-a²)]=(1/12)[2a√(36-a²)-a³/√(36-a²)]=0
得2a(36-a²)-a³=72a-3a³=3a(24-a²)=0,故得a=√24=2√6.
即当a=2√6时正三棱锥S-ABC的体积最大,故应选(4).