已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱和底面垂直，底面是正三角形，侧棱长是底边长的2倍，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为36π，则此三棱锥A-A1B1C1的体积为（）A.12125B.811

Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱和底面垂直，底面是正三角形，侧棱长是底边长的2倍，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为36π，则此三棱锥A-A₁B₁C₁的体积为（　　）

A.

(121)/(25)

B.

(81)/(16)

C.

(16)/(9)

D.

(9)/(4)

Answer 1

如图，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上，
∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O，
再设球的半径为r，由球O的表面积为36π，得4πr²=36π，∴r=3．
设三棱柱的底面边长为a，则上底面所在圆的半径为(√(3))/(3)a，且球心O到上底面中心H的距离OH=a，
∴3²=a²+（(√(3))/(3)a）²，∴a=(3√(3))/(2)．
则三棱柱的底面积为S=(√(3))/(4)×((3√(3))/(2))2=(27√(3))/(16)．
∴三棱锥A-A₁B₁C₁的体积为(1)/(3)×(27√(3))/(16)×2×(3√(3))/(2)=(81)/(16)．
故选：B．