如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面长均为2，D为BC中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅲ）求三棱锥C1-ADB1的体积．

Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面长均为2，D为BC中点．

（Ⅰ）求证：AD⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅲ）求三棱锥C₁-ADB₁的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，所以CC₁⊥平面ABC
因为AD⊂平面ABC，所以CC₁⊥AD
因为△ABC是正三角形，D为BC中点，所以BC⊥AD，…（4分）
因为CC₁∩BC=C，所以AD⊥平面B₁BCC₁．…（5分）
（Ⅱ）证明：连接A₁C，交AC₁于点O，连接OD．

由 ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，得四边形ACC₁A₁为矩形，O为A₁C的中点．
又D为BC中点，所以OD为△A₁BC中位线，
所以A₁B∥OD，…（8分）
因为A₁B⊄平面ADC₁，OD⊂平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁；（10分）
（Ⅲ）V_C1-ADB1=V_A-C1DB1=(1)/(3)S△C1DB1×AD＝(1)/(3)×(1)/(2)×2×2×√(3)=(2√(3))/(3)．…（14分）