已知正六棱锥的底面边长为4cm,侧棱长为8cm,求它的侧面和底面所成的二面角.

Question

已知正六棱锥的底面边长为4cm,侧棱长为8cm,求它的侧面和底面所成的二面角.

Answer 1

P-ABCDEF为正六棱锥,O是底面正六边形ABCDEF的中心.连接OA、OB、OP,过O作边AB的垂线,垂足为Q.则：
因为ABCDEF为正六边形,所以：△AOB为等边三角形.
所以：OA=OB=AB=4
又因为OQ⊥AB,所以：Q是AB中点
所以,AQ=BQ=2
因为OP⊥面ABCDEF,所以：OP⊥OA,OP⊥AB
所以,△OPA为直角三角形.且,AB⊥面OPQ
所以,PQ⊥AB
则,∠OQP为六棱锥侧面与底面所成的角.
在Rt△OPA中,PA=8,OA=4,所以,OP=√(64-16)=4√3
而,OQ=OA*(√3/2)=4*(√3/2)=2√3
所以,在Rt△OPQ中,tan∠OQP=OP/OQ=(4√3)/(2√3)=2
所以,∠OQP=arctan2