已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，M，N分别是A1B1，BC的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC1A1；（Ⅱ）试求线段MN与平面ABC所成角的余弦值．

Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA₁=2，AC=1，M，N分别是A₁B₁，BC的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）试求线段MN与平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

（空间向量）依条件可知AB，AC，AA₁两两垂直．如图，
以点A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz．
依条件可知AB，AC，AA₁两两垂直．
如图，以点A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz．
根据条件容易求出如下各点坐标：A（0，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），A₁（0，0，2），B₁（0，2，2），C₁（-1，0，2），M（0，1，2），N(−(1)/(2)，1，0)．
（Ⅰ）因为

AB

＝(0，2，0)，

AC1

＝(−1，0，2)，
因为

MN

＝(−(1)/(2)，0，−2)，

AB

＝(0，2，0)，所以

MN

•

AB

=−(1)/(2)×0+0×2−2×0＝0，
从而

MN

⊥

AB

．
又因为

AB

＝(0，2，0)是平面ACC₁A₁的一个法向量，且MN⊄平面ACC₁A₁，
所以MN∥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）

BC

＝(−1，−2，0)，

AB

＝(0，2，0)设平面ABC的法向量是

n

＝(x，y，z)
由

n

•

BC

＝0，

n

•

AB

＝0，知法向量可以是

n

＝(0，0，1)，它与向量

MN

＝(−(1)/(2)，0，−2)的夹角满足：cosθ＝(n•MN)/(|MN||n|)＝−(4)/(√(17))，
所以所求线面所成角的余弦值是(1)/(√(17))．
（逻辑推理）（Ⅰ）如图

作出AC的中点D，连结DN，A₁D．
∵D，N分别是AC，BC的中点
∴DN∥AB且DN=(1)/(2)AB，
∵ABC-A₁B₁C₁是三棱柱，
∴AB∥A₁B₁且AB=A1BA
又∵M是A₁B₁的中点，
∴A1M=(1)/(2)A1B1=(1)/(2)AB=DN，
∵DN∥AB，AB∥A₁B₁
∴DN∥A₁M∴四边形A₁DNM是平行四边形
∴MN∥A₁D
∵MN⊄平面ACC1，A₁A₁D⊂平面ACC₁A₁
∴MN∥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）如图

作出AB的中点F∵N，F分别是BC，AB的中点∴NF∥AC，NF=(1)/(2)AC=(1)/(2)
又∵M是A₁B₁的中点，
∴MF∥AA₁，MF=AA₁=2
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，
∴MF⊥面ABC，MF⊥NF
∴∠MNF就是所求的线面所成角．
∴cosMEN＝(NF)/(MN)＝((1)/(2))/(√((1)/(4)+4))＝(1)/(√(17))