在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．（1）求a的值；（2）求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．

Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A₁B与B₁C₁所成的角等于60°，设AA₁=a．

（1）求a的值；
（2）求平面A₁BC₁与平面B₁BC₁所成的锐二面角的大小．

Answer 1

（1）∵BC∥B₁C₁，∴∠A₁BC就是异面直线A₁B与B₁C₁所成的角，
即∠A₁BC=60°，（2分）
连接A₁C，又AB=AC，则A₁B=A₁C∴△A₁BC为等边三角形，（4分）
由AB=AC=1，∠BAC=90°⇒BC=√(2)，
∴A1B=√(2)⇒√(1+a2)=√(2)⇒a=1；（6分）
（2）取A₁B的中点E，连接B₁E，过E作EF⊥BC₁于F，
连接B₁F，B₁E⊥A₁B，A₁C₁⊥B₁E⇒B₁E⊥平面A₁BC₁⇒B₁E⊥BC₁
又EF⊥BC₁，所以BC₁⊥平面B₁EF，即B₁F⊥BC₁，
所以∠B₁FE就是平面A₁BC₁与平面B₁BC₁所成的锐二面角的平面角．（8分）
在△B₁EF中，∠B₁EF=90°，B1E=(√(2))/(2)，B1F=(1×√(2))/(√(3))，∴sin∠B1FE=(B1E)/(B1F)=(√(3))/(2)⇒∠B₁FE=60°，（10分）
因此平面A₁BC₁与平面B₁BC₁所成的锐二面角的大小为60°．