在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．（1）求a的值；（2）设D是B1C1上的任意一点，求D到平面A1BC的距离．

Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A₁B与B₁C₁所成的角等于60°，设AA₁=a．
（1）求a的值；
（2）设D是B₁C₁上的任意一点，求D到平面A₁BC的距离．

Answer 1

（本题满分12分） 本题共有2个小题，第1小题满分（6分），第2小题满分（6分）．
（1）∵BC∥B₁C₁，
∴∠A₁BC就是异面直线A₁B与B₁C₁所成的角，
∵异面直线A₁B与B₁C₁所成的角等于60°，∴∠A₁BC=60°，
又连接A₁C，AB=AC，则A₁B=A₁C，
∴△A₁BC为等边三角形，
由AB=AC=1，∠BAC=90°，∴BC=√(2)，
∴A1B＝√(2)，∴√(1+a2)＝√(2)，解得a=1或a=-1（舍）．
∴a=1．
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵B₁C₁∥BC，B₁C₁在平面A₁BC外，BC⊂平面A₁BC，
∴B₁C₁∥平面A₁BC，又∵D是B₁C₁上的任意一点，
所以点D到平面A₁BC的距离等于点B₁到平面A₁BC的距离．
设其为d，连接B₁C，
则由三棱锥B₁-A₁BC的体积等于三棱锥C-A₁B₁B的体积，求d，
△A₁B₁B的面积S=(1)/(2)，△A₁BC的面积S′＝(√(3))/(4)•(√(2))2=

作业帮用户 2017-09-28

问题解析

（1）由题设条件推导出∠A₁BC=60°，从而得到△A₁BC为等边三角形，由此能求出a．
（2）由题设条件推推导出点D到平面A₁BC的距离等于点B₁到平面A₁BC的距离．由此利用等积法能求出D到平面A₁BC的距离．

名师点评

本题考点：

点、线、面间的距离计算．

考点点评：

本题考查线段长的求法，考查点到直线的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

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